类型：数学实验（从操作体验、数学实验、综合实践中选择一个）

内容：《幻方》

【学习目标】

1. 知道什么是幻方；

2. 通过动手摆放，发现三阶幻方部分规律，重点探究中间数5的存在合理性；

3. 初步感受数学实验带给数学学习的学习力加成，启迪数学学习.

【学习重难点】

1．教学重点：探究三阶幻方中中间数5的存在合理性以及科学性；

2．教学难点：引导学生从数独游戏中制定游戏规则，并进行合理统计的基础上发现三阶幻方的数字奥义所在.

【学习准备】

多媒体课件、音视频材料、网格纸、小黑板、数字1—9的磁贴卡片若干等．

【学习过程】

教学环节（一）游戏开场，抛砖引玉

在课堂的开始，让学生们进行小学就经常玩的数学游戏：数独（如图2）.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，是一种运用纸、笔进行演算的逻辑游戏.玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个线宫（3×3）内的数字均含1-9，不重复.

【设计意图】数独游戏是学生们在小学期间就经常开展的数学游戏，课堂的开始，借助数独游戏，让学生们暖场，消除学生对陌生的知识“幻方”的恐惧感，并且提升课堂的氛围，紧紧地拽住学生的思维，为后面的学习奠定自信心准备，培养一定的数感.

教学环节（二）了解历史，名族自豪

播放一段视频：简介幻方的起源.幻方最早起源于中国，关于幻方的起源，比较流行的有“河图”和“洛书”之说.相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方.伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个.这九个数就可以组成一个纵横图.这就是后来数学家们研究的幻方.

【设计意图】借助视频，让学生了解幻方的历史背景和由来，明确本节课的研究对象.明确向学生指出，中国是世界上最早发现幻方的国家，也是研究幻方最为成熟和彻底的国家，著名的数学家杨辉已经将幻方推向了全世界，可见我国古代数学的璀璨成果，激发当代青少年的名族自豪感，培养学生的爱国情怀，将德育蕴含在常态课堂中，给学生种下一颗数学的种子.

教学环节（三）活动开展，做数学

活动一：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数分别填入如图3所示方阵（幻方）的9个空格中，使得所有横排3个数相加的和相等.

             图3                     图4                     图5

【设计意图】以条件逐步加强的形式开展本节课堂，活动一是比较简单的满足第一个要求，横排3个数的和相等，引导学生进行思考，三个横排和相等，即需要算出每个横排应该需要的和是多少，为后面的探究奠定数字基础，也进一步消除了学生心理上对于三阶幻方的畏惧感，让更多的学生能够参与进来，自己动手排放磁片，发现三阶幻方的规律.

活动二：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数分别填入如图4所示方阵（幻方）的9个空格中，使得所有横排、竖排3个数相加的和都相等.

【设计意图】在活动一的基础上，继续加强条件，由只要求横排3个数相加的和相等，增强到使得所有横排、竖排3个数相加的和都相等，引导学生在刚刚已经摆放好的磁片基础上进行适当的调整，满足最新的要求，尝试得到“横排不变，调整竖排的位置即可”的基本认识，并且发现横排的3个数之和以及竖排的3个数的和相等，启发学生尝试去总结1-9的数字中，有多少种组合能够使得和为15，为后面规律的发现提供可能性.

活动三：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数分别填入如图5所示方阵（幻方）的9个空格中，使得所有横排、竖排、斜对角3个数相加的和都相等.

【设计意图】在活动二的基础上，继续加强条件，由要求所有横排、竖排3个数相加的和都相等，加强到所有横排、竖排、斜对角3个数相加的和都相等.到这个环节可能有部分同学已经早早地发现了相关的排列方式，可以引导学生更多地罗列出排列的方式，让学生将自己排列的磁片进行黑板展示.

活动四：在所组成的三阶幻方中，你能发现哪些特征？你能说明理由吗？

【设计意图】在提出“请问同学们在排列的过程中，有没有发现什么规律，请与大家分享”后，想必同学们经历了动手操作后，会产生了许许多多的经验想要和大家分享，一些简单的结论，如：三阶幻方中, 每行、每列、每条对角线上三个数的和等于九个数的和的；三阶幻方的中心格数等于九个数的平均数；三阶幻方中每行、每列、每条对角线上三个数的和等于中心格数的3倍；三阶幻方的第二行、第二列与两条对角线上两端两数之和都等于中心格数的2倍，想必学生们可以说出，在此环节，需要学生对于自己说出的经验规律进行科学性的证明，同伴互助，发现规律，也对学生学习数学的方法加以训练，为其终身学习思考.

教学环节（四）同类再练，反馈落实

同类再练1： 将1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17这9个数分别填入如图5所示方阵（幻方）的9个空格中，使得所有横排、竖排、斜对角3个数相加的和都相等.

【设计意图】本环节设置的是一个升级版的三阶幻方，整体上难度不大，依然还是以等差数列为依托的三阶幻方变化，主要是考察学生对于在上面的活动环节通过操作、思考、总结出的相关三阶幻方解决方法是否能够迁移到变形后的题目，进一步感受实验成果带给自己的解题成就感.

同类再练2：  用6,5,4,3,2,1,0,-1,-2这九个数制作一个三阶幻方.

同类再练3：  用3,8,10,13,15,17,20,22,27这九个数制作一个三阶幻方.

【设计意图】本环节设置的是两个升级版的三阶幻方，整体上难度不大，同类再练2依然还是以等差数列为背景，但是此时已经引入了负数，也给学生传递了一个信号：三阶幻方的研究范围不仅仅拘泥在正整数，可以扩展到所有整数，乃至分数，甚至一切实数.同类再练3的设置已经不再是一个等差数列的呈现，需要学生借助本节课的研究方法和研究的成果，真正灵活地去解决三阶幻方的问题，是对学生“做数学”效果的一次检验.

教学环节（五）巨人肩膀，开拓视野

在几千年的历史长河里，古今中外有很多数学家已经将三阶幻方进行了很多很深入的研究，下面我们站在前人的肩膀上，感受一下古人的智慧：

杨辉口诀：九子斜列（图6）；上下对易（图7）；左右相更（图8）；四维挺出（图9）.

                  图6                                图7

                 图8                                图9

罗伯法（楼梯法）：最小首行正中央；依次斜填切莫忘；上出格时往下填（图10）；右出格时左边放（图11）；遇数便往脚下放（图12）；角出格时一个样（图13）.

                图10                                图11

                图12                                图13

【设计意图】让学生了解三阶幻方比较流行的两种口诀解决的方法，这是解决奇数阶幻方常常用到的口诀，感受口诀的简便程度，体会口诀存在的价值和存在意义，激发学生进一步探究幻方的兴趣，从而增加学生学习数学的热情．

【教学反思】

1.做中学，发挥主观能动性

“做中学”的数学实验理念注重学生的动手操作能力和学生的自主能力、数学素养的培养，最为重要的是让学生借助数学实验，不仅可以完成本节课的内容，更加激发了学生课外学习的兴趣和可能.“做中学”倡导将学习的决定权和主动权从教师转移给学生，从外化转化为内在的自主学习行为和自我建构意识，让学生从生活中学、从经验中学、从做中学.

传统的数学教学模式是教师在课堂上教授，然后布置家庭作业．与传统的课堂学教模式所不同的是，在“做中学”的理念下，学生先自己动手通过实验，在实际操作中完成相关知识的初步学习，再从实验中收获了知识的来源和产生的过程，从而让课堂教学变成了师生之间和生生之间互动的场所，包括答疑解惑、知识的运用等，从而达到更好的教育效果和知识构建过程，满足了学习数学的切实需要．在数学实验中学生可以通过自己动手实践操作去探究，去总结研究构建知识模型，不再单纯地依赖授课教师去教授知识，最终达成知识体系的完善和能力的提升．通过数学实验，课堂和教师的角色发生了变化，教师是课堂的组织者，而学生成为了课堂真正的主人，是课堂的实施者、参与者，实现了数学本身的价值和学生能力的提升、思维的发展，更加发挥了学生学习的主观能动性，最终达到学生学科素养和思维品质的发展．

2.动手学，做真正的数学学习者

在本节课堂中，所有呈现的环节都是以学生为中心，学生自己通过摆放磁片去完成制定的“游戏规则”，从而自然地完成规律的探索，以其中中心数为5为例：

学生首先会非常直观地感觉中心数就应该是5，稍一提问，他们表示平均数就是5，所以中心位置就应该是5，在老师提出进行严谨的证明时，他们很快可以给出下列证明：

法一：方程推理

如图14，在三阶幻方中，设各个数位依次是a,b,c,d,e,f,g,h,i.由题可知：

显然：，可以解得：.这样就证明了中心位置数为5.

                图14                               图15

这也经历了数学学习从猜想到证明，从感觉到真理的过程.在学生们不断摆放磁片的过程中，他们内心的疑惑和欲望将随之而产生.就在此时，有一个小组的同学显得非常兴奋，给大家展示了他们的研究成果：

法二：统计特征

要使得幻方中每行、每列以及对角线上的三个数和都相等，无非就是需要凑出三个数的数对，使得他们的和为15，并且可以有序地摆放好，所有的三个数和为15的数对为：1,6,8；1,5,9；2,4,9；2,5,8；2,6,7；3,5,9；3,4,8；4,5,6；共有8对，我们不妨将每个数字出现的频数进行统计（如下表）：

同时，我们可以观察（图15）在三阶幻方中经过每一个位置上的数列次数，可见，4个角上的位置各有3条线通过，正中间的位置有4条线通过，其余的位置只有两条线通过，这恰好与上表中我们统计的数字频数不谋而合，1,3,7,9各出现了2次，应该对应外围中间的方格位置，四个数的数量也刚好一致；2,4,6,8各出现了3次，刚好可以对应4个角上的位置各有3条线通过，所以4个角应该摆放2,4,6,8；最后我们看到只有数字5出现了4次，对应这幻方针的中心位置有4条直线穿过，可以完美地解决中心数为5的直观感受.

对于这个问题的解决，学生们经历了直观感受—方程求解—事物本质的过程，正是在数学实验的过程中，学生们自己“做数学”，在做中观察，在做中思考，在做中讨论，在做中研究，在做中成长，在学生们的内心埋下了一颗数学学习的种子，为其终身学习奠基.

3.探究学，做真正的数学实验教学

特级教师王晓峰说：“不是所有的水都是矿泉水，同样，不是所有的探究都是真探究”.数学探究的特征体现在直觉猜想、实验尝试、反思调整、观察发现、提炼验证、概括归纳的过程之中，是一个发现与提出问题、分析问题与解决问题的完整过程.本课涉及的探究活动都充分体现了数学探究的这些特征，处处透露着浓浓的数学味.将学生从一个陌生、畏惧的课题带到喜欢、热爱的问题.这是一个既关注知识的形成，又关注方法的体验；既注重思维的培养，又注重能力的提高，最终促进学生数学核心素养的形成、促进学生思维发展的一次真正意义上的数学探究活动，具有较强的示范性.  

著名特级教师马明曾说过：不把教学做为“结果”进行，而做为“思维过程”来进行，这才是“数学教学”的本质.所以本节课笔者努力地为学生提供一个开放的课堂，让学生自主与合作、通过游戏的形式让学生自己增强条件，通过摆放磁片解决问题，从而一步步得到三阶幻方的完全形式，更加有利于学生对内在关系的探究，把数学的本质特征通过形象具体的磁片方式，让学生有所顿悟.

本文教学的过程中，学生通过摆放磁片的直观操作，提出猜想（增强的条件），提高了学生发现问题、提出问题的能力；通过重点验证中心数为5作为载体，培养学生具备一定的思维形式来证明猜想结论的正确性，从而进一步形成定理，认识数学思考过程的条理性、严谨性；最后，提出前人的解决方法，使学生加深对知识的再认识，渗透数学思想方法，启发课外探究，培养了学生的创新能力.

                        授课人：西安交通大学苏州附属初级中学  阎靖峥