类型：综合实践（从操作体验、数学实验、综合实践中选择一个）

内容：打印纸中的数学

【学习目标】

1．能通过对A4纸长宽比的估计、度量与计算等活动，探索A4纸的长宽比值，感受无理数的客观存在．

2．经历观察、猜想、操作、验证等数学实验活动的环节，体会A4纸长宽比例的设置缘由，发现A型打印纸中的奥秘．

3．培养学生乐于实践、善于发现的学习品质，感受数学的应用价值，体悟学科融合，积累数学思维和实践的基本经验．

【学习重难点】

1．教学重点：探索A4纸的长宽比值，感受无理数的存在性，发展应用意识和能力．

2．教学难点：经历“观察—猜想—操作—验证”等过程，发现A3纸与A4纸之间的内在联系，体会A4纸长宽比例的设置缘由．

【学习准备】

多媒体课件、网络画板、A4纸、A3纸、A2纸、A1纸、印刷纸、磁贴等．

【学习过程】

一、创设情境 引发思考

问题：对于生活中常见的打印纸，其中蕴藏着哪些数学知识？请同学们说一说你想研究什么？（大小、厚度、长、宽、周长…）

二、动手实验  交流探索

活动一 探索A4打印纸长与宽的比值

操作1  度量计算

要求：利用刻度尺，度量A4打印纸的长与宽，计算长与宽的比值，结果精确到0.001，说一说你的发现．

操作2  折纸说理

不借助工具，请你尝试验证：A4打印纸长与宽的比值为．

学习要求：

（1）先自主操作；

（2）再合作学习：交流自己的想法和困惑；

（3）最后全班学习：派代表展示交流．

小组1：将A4打印纸按图1（1）方式折叠，易知△ABE为等腰直角三角形．假设AB＝1，则有BE＝．再拿出另一张A4打印纸，发现这张A4打印纸的长边恰好能与折痕BE重合，从而说明A4打印纸的长也是．

小组2：在图1（1）折叠的基础上，已经得出BE的长度为，只需再将∠EBC按图1（2）的方式进行对折，可以发现BE恰好能与BC重合，从而说明BC＝．

小组3：如图2（1），分别将∠ABC、∠DCB进行对折，此时两条折痕交于一点O，易得△BOC为等腰直角三角形．设BC＝，则OB＝1，再将AB边向上翻折，发现AB边恰好与OB边重合，说明AB的长度也是1，从而得出结论．

【设计意图】分析和解决问题是培养学生用数学的思维思考世界的主要途径．学生通过度量对“A4打印纸长与宽的比值”展开的探索，经历了“目测估计”、“度量计算”、“折纸说理”的过程，这是一个完整的数学活动和知识建构过程，不仅能够让学生明白“知识是什么”，而且在归纳与演绎两种思维方式相辅相成、相得益彰的运用与体会的过程中，又促进了学生的思维从感性上升到了理性，从低阶走向了高阶．因此，数学实验能够有效地促进学生掌握知识、发展思维．

三、自主探究 归纳结论

活动二 探索A型打印纸的奥秘

1． 探索A3打印纸

问题：观察A3纸，说一说你的猜想或发现？

操作：基于A4打印纸的研究经验，请你尝试验证你的发现和猜想．

思考：为什么两种纸型的长与宽之比均为，这其中蕴含着怎样的奥秘？

验证：设A4打印纸的长与宽分别为a、b，那么A3纸的长与宽分别为2b、a（如图3），因为比值保持一致，则有＝，即a²＝2b²，所以＝，即A3、A4打印纸的长与宽的比值均为．

【设计意图】 经过探究，学生已经认识了A4打印纸的特征、初步形成了怎样研究其他打印纸的经验，但这些初步的经验还需要在解决与其相关联的、相近问题中加以运用，A3纸就是一个很好的选择，学生通过度量、折纸的方式都得到了与A4纸相同的结论．同时还发现A3打印纸的宽等于A4打印纸的长，A3打印纸的长是A4打印纸宽的两倍．从而又从演绎推理的角度严谨解释了的意义．这样的设计能够促进学生经验的不断累积和叠加，最终升华为方法与策略．

2． 探索A型打印纸

操作（1）：A3打印纸的长与宽的比值为，对折之后所得A4打印纸的长与宽的比值也为，根据A型纸的这一规律，请你设计并制作出A5、A6打印纸．

操作（2）：如图4（2）所示，两张A6打印纸拼成了一张A5打印纸，两张A5打印纸又拼成了一张A4打印纸…．以此类推，还可以拼出哪些A型打印纸呢？

“0”乃万物之源，事实上，工厂生产打印纸便是从一张这样大小的A0打印纸开始，不断沿对边中线切割，逐步得到A1、A2、A3等各类A型打印纸，如此设计正是为了最大程度的节约资源，避免边角料的浪费．同时，这个切割的过程也表示了A型打印纸后缀数字的含义——切割次数．

这张初始的A0打印纸到底有多大呢？不难看出，它的长是A4打印纸长的4倍，宽亦如此，由度量得到的A4打印纸的长和宽，可以计算出A0打印纸的长、宽分别为1 188 mm、840 mm．为避免不必要的麻烦，国际上对每一种A型打印纸都制定了相应的标准尺寸（如表1），可以看出，A0打印纸的国际标准尺寸为1 189 mm、841 mm．

A0打印纸的长与宽并不是一个方便记忆的数字，为何设置这样特殊的长、宽的数值呢？通过计算两者比值发现，精确到0.001后仍为1.414，说明A0打印纸的制作首先是要确定长与宽的比值为．其次，通过计算两者的乘积：1 189 ´ 841＝999 949 mm²，终于发现——原来A0打印纸的面积是1 m²．

【设计意图】制作和拼接A型打印纸的活动，是一个逆向思维的过程，将实际生产加工过程中不断切割的过程逆向地转化成不断拼接的过程，逐步让学生了解了A型打印纸设计的来龙去脉，是一个能够让学生明白“知识是怎么去的”过程．而国际标准尺寸的给出又引发了学生对于打印纸初始尺寸设计的思考，从而领悟到A0打印纸制作的两个标准：（1）长与宽的比值为；（2）面积为1 m²．同时，本节课开始学生提出的A4打印纸的面积问题也就迎刃而解，至此就完成了对A型打印纸的研究，始于欢乐，终于智慧．

四、练习提升 知识延展

活动三  探索B型打印纸、K型纸

问题：生活中常见的纸型除了A型打印纸，还有B型打印纸和K型纸，例如我们平常所用的试卷纸，就是K型纸．结合手中的试卷纸，说一说你的发现．

【设计意图】完整的教学过程链由“知识是怎么来的”、“知识是什么”和“知识是怎么去的”三个环节所组成．由“A4打印纸中蕴藏着哪些数学知识？”到“探索A4打印纸长与宽的比值”再到“探索A型打印纸的奥秘”，逐步体现了完整的“认识A型打印纸”探究过程．在拓展延伸的环节，提出“探索B型打印纸、K型纸”，使得“认识A型打印纸”又上升为“认识各类常见纸张”，学生所获得知识、方法、经验、思维又有了新的发展空间，因此，学生享受到了完整的数学学习． 

五、课堂小结

1. 本节课，我学到了哪些知识？

2. 本节课，给我感受最深的是什么？

3. 课后你准备对哪方面进行进一步研究？

4. 你还有哪些困惑？

【教学反思】

数学核心素养的目标具体化是教师通过一定的教学方式培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的能力．数学实验提出的“以‘做’为支架、手脑协同、启思明理，促进学生思维发展”的教育理念，与“以学生发展核心素养为纲”的课改理念具有高度的一致性，因此，数学实验教学是实现这些具体目标的有效途径．

1．数学实验有助于培养学生的数学抽象能力

抽象的事物并非具体的存在，因此学生在认识上会存在很大的障碍．数学实验注重实测与直观，让数学在“实验”的过程中对所研究的内容“可视化”，让学生从中获得数、形的观念．通过折纸活动不仅让学生对抽象的无理数有了具体的认识，并且对无理数的客观存在又获得了新的体验．

2．数学实验有助于培养学生的逻辑推理能力

数学实验还能在原问题的基础上不断生成相关联的新的问题，通过这些新问题的发现和解决，又会不断地推动学生的合情推理能力、演绎推理能力发展．这样的实验活动，使得学生的思维训练落到了实处，思维品质和关键能力真正有了落脚点．

3．数学实验有助于培养学生的数学建模能力

数学实验不仅能够促进学生对教材内容的理解，而且能够动态地将问题推广至更广阔、更深刻的层面，不断地发现、解决新的问题，这有助于提升学生研究事物之间关系和规律的能力，逐步形成属于自己的学科思维．通过简单的数学建模构造出基本图形之间的联系，通过分析数据提出猜想，然后加以验证，最终获得发现，得到相应的结论．

                        授课人：西安交通大学苏州附属初级中学  蒋妍兮